Hallo Alina,
das ist ja ärgerlich, wie lange hat es den gehalten?
Von ähnlichen Fällen mit dem Sigma 70-300 habe ich irgendwo gelesen, manchmal half es wie bei dir, das Objektiv mehrmals an- und abzukoppeln, aber irgendwann ging das auch nicht mehr.
Ich würde direkt bei Sigma anrufen, vielleicht haben die eine Idee.
Falls dir das Objektiv so liegt - eine Neuanschaffung wäre nicht so furchtbar teuer und schließlich verdienst du damit ja.
Ansonsten finde ich das AF-P DX Nikkor 70-300mm 1:4.5-6.3G ED VR recht gut (hatte damals alle verfügbaren 70-300er unter 1 kg ausprobiert).
Es ist klein und leicht, fokussiert schnell und leise, der VR verdient seinen Namen auch im Sucherbild -
vor allem ist es an meiner d5500 und sogar an der Z7 im Crop-Modus in der Mitte erstaunlich scharf.
Spritzwasserschutz hat es nicht und auch keine Knöpfe um den Fokusbereich oder die Stabilisierung umzustellen.
An deiner d3100 / d3200 wird es nur manuell funktionieren, an der d5300 aber in vollem Umfang. Leider ist es ein bisschen teurer als das Sigma.
Beispielbilder von heimischen Vögeln (die meisten mit der d5500 und bei allen Agenturen angenommen):
http://maren-winter.de/schoenwetter-telezoomhttp://maren-winter.de/endlich-schnee/http://maren-winter.de/gaeste-aus-dem-norden/Und weil du aus Bayern bist, noch Alpendohlen im Flug

(Nikon Z7 mit AF-P DX Nikkor 70-300mm):
http://maren-winter.de/autorin/wp-content/uploads/2019/04/0NZ7_8802.jpgSeit zwei Jahren tut das Objektiv unverändert gute Dienste, obwohl ich ziemlich ruppig damit umgehe.
Sollte es irgendwann streiken, würde ich es wieder kaufen.
Liebe Grüße
misunde